√(2 + √(2 + √(2 + ・・・)))＝2

http://www.hatena.ne.jp/1109562418 で得たネタ。もう気にしてる人はいないだろうけど、まぁもったいないので書いとく。もっとエレガントに証明する方法はきっとあるでしょう。

問題設定

とりあえず、・・・ の定義が微妙で困るので、 最初は

      √(2 + √(2 + √(2 + ・・・+ √2)))

と有限で切っといて、これが無限に続いていったときの収束先があればそれを √(2 + √(2 + √(2 + ・・・))) と定義します。数列使って書くと、√(2 + √(2 + √(2 + ・・・))) は

      漸化式 a(n+1)=√(2+a(n))

で定義された数列 a(n) で初期値を a(0)=√2 としたときの n→∞ の極限であるとします。n→∞ の極限を a(∞) と書きます。

結論

a(0) ≧ -2 であれば a(∞) = 2。なので当然 √(2 + √(2 + √(2 + ・・・))) = 2

証明

まず、

      a(n) = 2 + b(n)

で数列 b(n) を定義する。定義より、b(n) が従う漸化式は

      b(n+1) = 2 {-1 + √(1+b(n)/4)}

である。b(n) < -4 （つまり a(n) < -2）になると複素数がでてくるので、b(n) ≧ -4 の場合のみを考える。ここで、 b(0) ≧ -4 のとき、

      b(n) ≦ (1/4)^n b(0) … (1)

      b(n) ≧ (1/r)^n b(0) … (2)

が成り立つことを証明する。ここで r は -4 ≦ b(0) < 0 のとき r = 2、0 < b(0) なら r = 2{1 + √(1 + b(0)/4)} > 4。これより直ちに

      2 + (1/r)^n b(0) ≦ a(n) ≦ 2 + (1/4)^n b(0)

が成立することがわかり、よって

      2 ≦ a(∞) ≦ 2

となり、 a(∞) = 2 を結論する。□

(1) 式の証明

b(n) ≧ -4 ならば

      √(1 + b(n)/4) ≦ 1 + b(n)/8

が成立するので*1、

      b(n+1) ≦ 2 {-1 + √(1+b(n)/4)} = b(n)/4

これより、

      b(1) ≦ b(0)/4
      b(2) ≦ b(1)/4 ≦ b(0)/16
      ・
      ・
      ・
      b(n) ≦ b(n-1)/4 ≦ … ≦ (1/4)^n b(0)

を得る。よって、

      b(n) ≦ (1/4)^n b(0)

□

(2) 式の証明

i) -4 ≦ b(0) < 0 の場合。このとき、

      √(1 + b(n)/4) ≧ 1 + b(n)/4

なので、あとは上限のときと同様にすれば、

     -4 ≦ b(0) < 0 ⇒ b(n) ≧ (1/2)^n b(0)

で (2) 式を得た。

ii) 0 < b(0) の場合。0 < b(n) なら s(n) = 2{1 + √(1 + b(n)/4)} (> 4) としたとき、

      √(1 + b(n)/4) = 1 + b(n)/(2 s(n))

が成立する。また、(1) 式より、b(0) > 0 なら常に b(n+1) < b(n) なので、

      s(n) ≦ s(n-1) ≦ … ≦ s(0)

が成立ち、よって任意の n ≧ 0 について

      √(1 + b(n)/4) = 1 + b(n)/(2 s(n)) ≧ 1 + b(n)/s(0)

あとはいままでと同様に計算していけば

     0 < b(0) ⇒ b(n) ≧ (1/s(0))^n b(0)

を示せる。よって、i) の結果と合わせて (2) 式を示した。□

本当は

a(0) を任意の複素数にしても a(∞) = 2 が示せるんだろうけど、もう満足。

*1:b(n)/4 ≧ -1 より {1 + b(n)/8}^2/(1 + b(n)/4) = 1 + b(n)^2/{64 (1+b(n)/4)} > 1 が成立するので √(1 + b(n)/4) ≦ 1 + b(n)/8 が成り立つ。